بهینه‌سازی مساحت مستطیل با محیط ثابت 📐✨

📐آموزش ریاضیات پایه هفتم✏️

بیان مسئله

فرض کنید شما یک قطعه زمین به شکل مستطیل دارید و می‌خواهید با استفاده از 100 متر نرده، آن را حصارکشی کنید. هدف شما این است که مساحت این مستطیل را تا حد امکان بزرگ کنید. سوال اینجاست: ابعاد این مستطیل (طول و عرض) باید چه مقداری باشند تا مساحت آن ماکزیمم شود؟ 🧐🌱

اصطلاحات کلیدی

• مستطیل: یک چهارضلعی که در آن زوایای داخلی همه قائمه (90 درجه) هستند. 📐
• محیط مستطیل: مجموع طول تمام اضلاع مستطیل. فرمول محاسبه محیط: $$P=2(l+w)$$ که در آن P محیط، l طول و w عرض مستطیل است. 📏
• مساحت مستطیل: حاصل ضرب طول و عرض مستطیل. فرمول محاسبه مساحت: $$A=l\times w$$ که در آن A مساحت، l طول و w عرض مستطیل است. 🏞️
• بهینه‌سازی: فرآیند یافتن بهترین راه حل برای یک مسئله با توجه به محدودیت‌های موجود. 🎯

روش اول: استفاده از جبر و معادلات

برای حل این مسئله، ابتدا باید یک معادله ریاضی ایجاد کنیم که رابطه بین طول، عرض و محیط مستطیل را نشان دهد. می‌دانیم که محیط مستطیل برابر با 100 متر است:

$$2(l+w)=100$$

با ساده‌سازی این معادله، می‌توانیم طول را بر حسب عرض بیان کنیم:

$$l=50-w$$

حالا می‌توانیم این عبارت را در فرمول مساحت جایگزین کنیم:

$$A=(50-w)\times w$$

این معادله یک تابع درجه دوم است که شکل آن یک سهمی رو به پایین است. برای یافتن مقدار عرض (w) که مساحت را ماکزیمم می‌کند، می‌توانیم از فرمول رأس سهمی استفاده کنیم:

$$w=\frac{-b}{2a}$$

در این معادله، a = -1 و b = 50 است. بنابراین:

$$w=\frac{-50}{2\times (-1)}=25$$

بنابراین، عرض مستطیل باید 25 متر باشد. حالا می‌توانیم طول را محاسبه کنیم:

$$l=50-25=25$$

بنابراین، طول مستطیل نیز باید 25 متر باشد. این بدان معناست که بهترین شکل برای این مسئله یک مربع با ضلع 25 متر است. مساحت این مربع برابر است با:

$$A=25\times 25=625$$

بنابراین، حداکثر مساحت ممکن برای این مستطیل 625 متر مربع است. 🎉

روش دوم: استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال

برای حل این مسئله با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال، ابتدا باید تابع مساحت را بر حسب عرض تعریف کنیم (همانطور که در روش اول انجام دادیم):

$$A\left(w\right)=(50-w)\times w$$

سپس، مشتق این تابع را نسبت به عرض محاسبه می‌کنیم:

$$\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dw}}=50-2w$$

برای یافتن نقاط بحرانی، مشتق را برابر با صفر قرار می‌دهیم:

$$50-2w=0$$

با حل این معادله، مقدار عرض را به دست می‌آوریم:

$$w=25$$

برای اطمینان از اینکه این نقطه یک ماکزیمم است، می‌توانیم مشتق دوم را محاسبه کنیم:

$$\frac{d^2}{A^2}=-2$$

از آنجایی که مشتق دوم منفی است، نقطه w = 25 یک ماکزیمم است. بنابراین، عرض مستطیل باید 25 متر باشد و طول نیز برابر با 25 متر خواهد بود (همانطور که در روش اول به دست آوردیم). 📈

روش سوم: استفاده از نامساوی‌ها

می‌توانیم از نامساوی میانگین حسابی و هندسی (AM-GM) برای حل این مسئله استفاده کنیم. نامساوی AM-GM بیان می‌کند که برای هر دو عدد غیرمنفی a و b، داریم:

$$\frac{a}{+}\ge \sqrt{a\times b}$$

در مسئله ما، a = l و b = w هستند. می‌دانیم که l + w = 50 (از معادله محیط). بنابراین:

$$\frac{l}{+}=50$$

و:

$$\sqrt{l\times w}\le 50$$

با مربع کردن هر دو طرف نامساوی، داریم:

$$l\times w\le {50}^2=2500$$

این نامساوی نشان می‌دهد که مساحت مستطیل (l × w) حداکثر برابر با 2500 متر مربع است. برای اینکه این مقدار ماکزیمم شود، باید l = w باشد (بر اساس نامساوی AM-GM). بنابراین:

$$l=w=25$$

و مساحت ماکزیمم برابر است با 625 متر مربع (همانطور که در روش‌های قبلی به دست آوردیم). 🌟